Se for advérbio, barato se mantém inflexível. Na dúvida, há duas dicas. Uma: a oração se constrói com os verbos custar, pagar ou similares. A outra: o complemento do verbo pode ser substituído pelos advérbios pouco ou menos: Nos Estados Unidos, a gasolina custa barato (pouco). Paguei barato (pouco) pelo quadro no leilão. Em Natal, as lagostas custam mais barato (menos) que em Campina Grande.
Se adjetivo, varia em gênero e número. No caso, a frase será construída com verbo de ligação (ser, estar, ficar, permanecer, continuar, andar): Com a safra generosa, a cesta básica ficou mais barata. Produtos de primeira necessidade deveriam ser mais baratos. Como as verduras estão baratas!
A regra vale para caro / cara.