As duas palavras são parentes próximas. Mas pertencem a classes diferentes. A menor é adjetivo. A maior, advérbio:
Independente = livre: O Brasil ficou independente de Portugal em 1822. Paulo começou a trabalhar cedo. Ficou independente da tutela dos pais antes dos irmãos.
Independentemente = sem levar em conta: Saiu independentemente da proibição médica. Ganha o mesmo salário independentemente do número de horas trabalhadas.