A maresia e o balanço do barco fizeram muitos passageiros enjoarem? A maresia e o balanço do barco fizeram muitos passageiros enjoar? A maresia e o balanço do barco fizeram com que muitos passageiros enjoassem? (Arnaldo Borges)
Eta linguinha manhosa. Acredite, Arnaldo. As três formas merecem nota 10. Trata-se do infinitivo flexionado. A regra manda o verbo concordar com o sujeito quando ele estiver explícito. Analise o período “É a última chance de os jogadores mostrarem a forma”. Ele tem duas orações. Uma: é a última chance. A outra: de os jogadores mostrarem a forma. O verbo mostrar concorda com o sujeito — jogadores. A flexão é obrigatória.
No seu exemplo, também há duas orações. Uma: a maresia e o balanço do barcofizeram . A outra: muitos passageiros enjoar (enjoarem). O sujeito da segunda está explícito (passageiros). Mas a flexão é facultativa. Por quê? Por causa do verbo fazer.
Fazer, mandar, ver, deixar e ouvir são pra lá de permissivos. Com eles, a flexão fica a gosto do freguês: Vi os dois sair (saírem). Ouvi os cães latir (latirem). Deixai vir (virem) a mim as criancinhas. Fiz os alunos estudar (estudarem) mais. O governo mandou os servidores voltar (voltarem) ao trabalho.
Fazer que ou fazer com que? O com é desnecessário. Mas aceitável. Pode-se muito bem viver sem ele. Xô!